3 Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің 3 әдісі

Мазмұны:

3 Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің 3 әдісі
3 Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің 3 әдісі

Бейне: 3 Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің 3 әдісі

Бейне: 3 Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің 3 әдісі
Бейне: Квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы. 8 сынып. 2024, Наурыз
Anonim

«Теңдеулер жүйесінде» бір уақытта екі немесе одан да көп теңдеулерді шешу сұралады. Егер оларда екі түрлі айнымалы болса, мысалы, x және y, немесе a және b, оларды шешу жолдарын көру бір қарағанда қиын болуы мүмкін. Бақытымызға орай, сіз не істеу керектігін білгеннен кейін, мәселені шешу үшін сізге алгебраның қарапайым дағдылары (және кейде бөлшектер туралы кейбір білім) қажет. Егер сіз көрнекі түрде оқитын болсаңыз немесе сіздің мұғаліміңіз талап етсе, теңдеудің графигін жасауды үйреніңіз. График «не болып жатқанын көру» немесе сіздің жұмысыңызды тексеру үшін пайдалы болуы мүмкін, бірақ ол басқа әдістерге қарағанда баяу болуы мүмкін және барлық теңдеулер жүйесінде жақсы жұмыс істемейді.

Қадамдар

3 -ші әдіс 1: Ауыстыру әдісін қолдану

Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 1 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 1 -қадам

Қадам 1. Айнымалыларды теңдеудің әр жағына жылжытыңыз

Бұл «алмастыру» әдісі теңдеулердің біріндегі «х -ты шешуден» (немесе кез келген басқа айнымалыдан) басталады. Мысалы, сіздің теңдеулеріңіз делік 4x + 2y = 8 және 5x + 3y = 9. Бірінші теңдеуге қарап бастаңыз. Оны алу үшін оны әр жағынан 2y азайту арқылы қайта реттеңіз: 4x = 8 - 2ж.

Бұл әдіс кейінірек фракцияларды жиі қолданады. Егер сіз бөлшектерді ұнатпайтын болсаңыз, төмендегі жою әдісін қолдануға болады

Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 2 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 2 -қадам

Қадам 2. Теңдеудің екі жағын да «х -ты шешу үшін» бөліңіз

" Теңдеудің бір жағында x термині (немесе сіз қолданатын айнымалы) болғаннан кейін айнымалы мәнді алу үшін теңдеудің екі жағын бөліңіз. Мысалға:

  • 4x = 8 - 2ж
  • (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
  • x = 2 - ½y
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 3 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 3 -қадам

Қадам 3. Мұны басқа теңдеуге қайта қосыңыз

Сіз бұрын қолданған теңдеуге емес, басқа теңдеуге оралғаныңызға көз жеткізіңіз. Бұл теңдеуде сіз шешкен айнымалыны ауыстырыңыз, сонда тек бір айнымалы қалады. Мысалға:

  • Сіз мұны білесіз x = 2 - ½y.
  • Сіз әлі өзгертпеген екінші теңдеу - бұл 5x + 3y = 9.
  • Екінші теңдеуде x -ті «2 - ½y» -ге ауыстырыңыз: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 4 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 4 -қадам

Қадам 4. Қалған айнымалыны шешіңіз

Енді сізде тек бір айнымалысы бар теңдеу бар. Бұл айнымалыны шешу үшін қарапайым алгебра әдістерін қолданыңыз. Егер сіздің айнымалы мәндеріңіз жойылса, соңғы қадамға өтіңіз.

Әйтпесе, сіз айнымалы мәндердің біріне жауап бересіз:

  • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
  • 10 - (5/2) у + 3ж = 9
  • 10 - (5/2) у + (6/2) у = 9 (Егер сіз бұл қадамды түсінбесеңіз, бөлшектерді қосуды үйреніңіз. Бұл әдіс үшін жиі қажет, бірақ әрқашан қажет емес.)
  • 10 + ½y = 9
  • ½y = -1
  • y = -2
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 5 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 5 -қадам

Қадам 5. Басқа айнымалыны шешу үшін жауапты пайдаланыңыз

Мәселені жартылай қалдырып, қателеспеңіз. Алынған жауапты бастапқы теңдеулердің біріне қосу керек, осылайша сіз басқа айнымалыны шеше аласыз:

  • Сіз мұны білесіз y = -2
  • Теңдеулердің бірі - бұл 4x + 2y = 8. (Бұл қадам үшін теңдеуді қолдануға болады.)
  • Y орнына -2 қосыңыз: 4x + 2 (-2) = 8.
  • 4x - 4 = 8
  • 4x = 12
  • x = 3
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 6 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 6 -қадам

Қадам 6. Екі айнымалы күші жойылғанда не істеу керектігін біліңіз

Сіз қосқанда x = 3y+2 немесе басқа теңдеуге ұқсас жауап, сіз тек бір айнымалысы бар теңдеуді алуға тырысасыз. Кейде сіз айнымалысы жоқ теңдеуге қол жеткізесіз. Жұмысыңызды екі рет тексеріңіз және (қайта реттелген) теңдеуді екінші теңдеуге қайта қосқаныңызға көз жеткізіңіз. Егер сіз қателеспегеніңізге сенімді болсаңыз, сізде келесі нәтижелердің бірі бар:

  • Егер сіз айнымалысы жоқ және ақиқат емес теңдеумен аяқтасаңыз (мысалы, 3 = 5), мәселе бар шешім жоқ. (Егер сіз екі теңдеудің графигін салсаңыз, олардың параллель екенін және ешқашан қиылыспайтынын көресіз.)
  • Егер сіз ақиқат айнымалылары жоқ теңдеумен аяқтасаңыз (мысалы, 3 = 3), мәселе бар шексіз шешімдер. Екі теңдеу бір -біріне дәл сәйкес келеді. (Егер сіз екі теңдеудің графигін салсаңыз, олардың бір сызық екенін көресіз.)

3 -тің 2 әдісі: Жою әдісін қолдану

Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 7 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 7 -қадам

Қадам 1. Жойылатын айнымалыны табыңыз

Кейде, теңдеулер айнымалы мәнді қосқаннан кейін «жойылады». Мысалы, теңдеулерді біріктіргенде 3х + 2ж = 11 және 5x - 2y = 13, «+2y» мен «-2y» бір-бірінен бас тартады, барлық «у» -ларды теңдіктен алып тастайды. Сіздің мәселеңіздегі теңдеулерді қараңыз және айнымалылардың бірі осылай жойылатынын біліңіз. Егер олардың ешқайсысы келмесе, кеңес алу үшін келесі қадамды оқыңыз.

Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 8 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 8 -қадам

2 -қадам. Бір теңдеуді көбейтіңіз, сонда айнымалы тоқтайды

(Егер айнымалылар жойылса, бұл қадамды өткізіп жіберіңіз.) Егер теңдеулерде табиғи түрде жойылатын айнымалы болмаса, теңдеулердің бірін өзгертіңіз. Мұны мысалмен орындаудың ең оңай жолы:

  • Сізде теңдеулер жүйесі бар 3x - y = 3 және - x + 2y = 4.
  • Бірінші теңдеуді келесідей өзгертейік ж айнымалы күшін жояды. (Таңдай аласыз x орнына, және сіз соңында сол жауапты аласыз.)
  • The - ж бірінші теңдеуде. көмегімен жою қажет + 2 ж екінші теңдеуде. Біз мұны көбейту арқылы жасай аламыз - ж 2 арқылы.
  • Бірінші теңдеудің екі жағын да 2 -ге көбейтіңіз: 2 (3x - y) = 2 (3), солай 6x - 2y = 6. Енді - 2 ж көмегімен жойылады +2 ж екінші теңдеуде.
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 9 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 9 -қадам

3 -қадам. Екі теңдеуді біріктіріңіз

Екі теңдеуді біріктіру үшін сол жақтарын қосып, оң жақтарын қосыңыз. Егер сіз теңдеуді дұрыс орнатсаңыз, айнымалылардың бірі жойылуы керек. Міне, соңғы қадамдағы теңдеулерді қолданатын мысал:

  • Сіздің теңдеулеріңіз 6x - 2y = 6 және - x + 2y = 4.
  • Сол жақтарды біріктіріңіз: 6x - 2y - x + 2y =?
  • Оң жақтарды біріктіріңіз: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 10 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 10 -қадам

Қадам 4. Соңғы айнымалыны шешіңіз

Біріктірілген теңдеуді жеңілдетіңіз, содан кейін соңғы айнымалыны шешу үшін негізгі алгебраны қолданыңыз. ' Егер жеңілдетуден кейін айнымалылар болмаса, оның орнына осы бөлімдегі соңғы қадамға өтіңіз.

Әйтпесе, сіз айнымалылардың біріне қарапайым жауап беруіңіз керек. Мысалға:

  • Сенде бар 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
  • Топтастырыңыз x және ж айнымалылар бірге: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
  • Жеңілдету: 5x = 10
  • X үшін шешіңіз: (5x)/5 = 10/5, солай x = 2.
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 11 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 11 -қадам

Қадам 5. Басқа айнымалыны шешіңіз

Сіз бір айнымалыны таптыңыз, бірақ сіз әлі аяқталған жоқсыз. Басқа айнымалыны шеше алу үшін жауапты бастапқы теңдеулердің біріне қосыңыз. Мысалға:

  • Сіз мұны білесіз x = 2, және сіздің бастапқы теңдеулердің бірі 3x - y = 3.
  • X орнына 2 қосыңыз: 3 (2) - у = 3.
  • Y үшін мына теңдеуді шешіңіз: 6 - у = 3
  • 6 - у + у = 3 + у, солай 6 = 3 + ж
  • 3 = ж
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 12 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 12 -қадам

Қадам 6. Екі айнымалы күші жойылғанда не істеу керектігін біліңіз

Кейде екі теңдеуді біріктіру нәтижесінде мағынасы жоқ немесе кем дегенде бұл мәселені шешуге көмектеспейтін теңдеуге әкеледі. Жұмысты басынан бастап екі рет тексеріңіз, бірақ егер сіз қателеспесеңіз, жауап ретінде төмендегілердің бірін жазыңыз:

  • Егер сіздің біріктірілген теңдеуде айнымалылар болмаса және ол дұрыс болмаса (2 = 7 сияқты), бар шешім жоқ бұл екі теңдеуде де жұмыс істейтін болады. (Егер сіз екі теңдеудің графигін салсаңыз, олардың параллель екенін және ешқашан қиылыспайтынын көресіз.)
  • Егер сіздің біріктірілген теңдеуде айнымалылар болмаса және ақиқат болса (0 = 0 сияқты), бар шексіз шешімдер. Екі теңдеу іс жүзінде бірдей. (Егер сіз оларды графикке салсаңыз, олардың бірдей сызық екенін көресіз.)

3 -тің 3 әдісі: Теңдеулерді сызу

Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 13 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 13 -қадам

Қадам 1. Бұл әдісті тек айтылған кезде ғана қолданыңыз

Егер сіз компьютерді немесе графикалық калькуляторды пайдаланбасаңыз, көптеген теңдеулер жүйесін тек осы әдіспен шешуге болады. Сіздің мұғаліміңіз немесе математика оқулығы сызықты графикалық теңдеулермен таныс болу үшін осы әдісті қолдануды талап етуі мүмкін. Сіз бұл әдісті басқа әдістердің бірінен жауаптарыңызды қайталап тексеру үшін пайдалана аласыз.

Негізгі идея - екі теңдеудің графигін салу және олардың қиылысатын нүктесін табу. Осы кездегі x және y мәндері бізге теңдеу жүйесіндегі х мәні мен у мәнін береді

Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 14 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 14 -қадам

2 -қадам. Y үшін екі теңдеуді де шешіңіз

Екі теңдеуді бөлек ұстай отырып, әр теңдеуді «y = _x + _» түріне айналдыру үшін алгебраны қолданыңыз. Мысалға:

  • Сіздің бірінші теңдеуіңіз 2x + y = 5. Мұны келесіге өзгертіңіз y = -2x + 5.
  • Сіздің екінші теңдеуіңіз - 3x + 6y = 0. Мұны келесіге өзгертіңіз 6y = 3x + 0, содан кейін оны жеңілдетіңіз y = ½x + 0.
  • Егер екі теңдеу де бірдей болса, бүкіл сызық «қиылыс» болады. Жазу шексіз шешімдер.
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 15 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 15 -қадам

Қадам 3. Координат осьтерін сызыңыз

Графикалық қағазға тік «у осі» мен көлденең «х осі» сызыңыз. Олар қиылысқан нүктеден бастап, у осінде жоғары жылжитын 1, 2, 3, 4 және т.б. сандарды белгілеңіз, қайтадан х осінде тура жүріңіз. У осінде төмен қарай және х осінде солға жылжитын -1, -2 және т.б. сандарды белгілеңіз.

  • Егер сізде графикалық қағаз жоқ болса, сандар бір -бірінен нақты бөлінгеніне көз жеткізу үшін сызғышты қолданыңыз.
  • Егер сіз үлкен сандарды немесе ондық бөлшектерді қолдансаңыз, сізге графикті басқаша масштабтау қажет болуы мүмкін. (Мысалы, 1, 2, 3 орнына 10, 20, 30 немесе 0,1, 0,2, 0,3).
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 16 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 16 -қадам

4-қадам. Әр жолға у-қиылысын салыңыз

Формада теңдеу болғаннан кейін y = _x + _, сызық у осін кесіп өтетін нүкте салу арқылы оны графиктен бастауға болады. Бұл әрқашан осы теңдеудегі соңғы санға тең у мәнінде болады.

  • Бұрынғы мысалдарымызда бір жол (y = -2x + 5) у осін кесіп тастайды

    5 -қадам.. Басқа (y = ½x + 0) ұстайды 0. (Бұл графикте (0, 5) және (0, 0) нүктелері.)

  • Мүмкіндігінше екі жолға түрлі түсті қалам немесе қарындаш қолданыңыз.
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 17 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 17 -қадам

Қадам 5. Сызықтарды жалғастыру үшін көлбеуді қолданыңыз

Пішінде y = _x + _, х алдындағы сан - сызықтың көлбеуі. Х әр жолы бір өскен сайын, y мәні көлбеу мөлшеріне артады. Бұл ақпаратты x = 1 болғанда графиктің нүктесін салу үшін пайдаланыңыз (немесе әр теңдеуге x = 1 қосыңыз және y үшін шешіңіз.)

  • Біздің мысалда сызық y = -2x + 5 көлбеуі бар - 2. X = 1 кезінде сызық x = 0 нүктесінен 2 төмен жылжиды. (0, 5) мен (1, 3) арасындағы сызық кесіндісін салыңыз.
  • Сызық y = ½x + 0 көлбеуі бар ½. X = 1 кезінде түзу = жоғары нүктеден x = 0 нүктесінен жылжиды. (0, 0) мен (1, ½) арасындағы түзу кесіндісін салыңыз.
  • Егер сызықтар бірдей көлбеу болса, түзулер ешқашан қиылыспайды, сондықтан теңдеулер жүйесіне жауап жоқ. Жазу шешім жоқ.
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 18 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 18 -қадам

Қадам 6. Сызықтарды қиылысқанша салуды жалғастырыңыз

Тоқтаңыз және графигіңізге қараңыз. Егер сызықтар өтіп кеткен болса, келесі қадамға өтіңіз. Әйтпесе, сызықтар не істеп жатқанына байланысты шешім қабылдаңыз:

  • Егер сызықтар бір -біріне қарай қозғалса, нүктелерді сол бағытта салуды жалғастырыңыз.
  • Егер сызықтар бір -бірінен алыстап бара жатса, артқа жылжып, нүктелерді басқа бағытта салыңыз, x = -1 -ден басталады.
  • Егер сызықтар бір -біріне жақын болмаса, алға секіруге тырысыңыз және алыс нүктелерді, мысалы, x = 10.
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 19 -қадам
Екі айнымалысы бар алгебралық теңдеулер жүйесін шешіңіз 19 -қадам

Қадам 7. қиылыстағы жауапты табыңыз

Екі сызық қиылысқан кезде, сол кездегі x және y мәндері сіздің мәселеңізге жауап болады. Егер сіз бақытты болсаңыз, жауап бүтін сан болады. Мысалы, біздің мысалдарда екі түзу қиылысады (2, 1) сондықтан сіздің жауабыңыз x = 2 және y = 1. Кейбір теңдеулер жүйесінде сызықтар екі бүтін сан арасындағы мәнде қиылысады, ал егер сіздің графигіңіз өте дәл болмаса, оның қай жерде екенін айту қиын болады. Егер бұл орын алса, сіз «x 1 мен 2 арасында» сияқты жауап жаза аласыз немесе нақты жауапты табу үшін алмастыру немесе жою әдісін қолдана аласыз.

Бейне - бұл қызметті пайдалану арқылы кейбір ақпарат YouTube -пен бөлісілуі мүмкін

Кеңестер

  • Жауаптарды бастапқы теңдеулерге қосу арқылы сіз өз жұмысыңызды тексере аласыз. Егер теңдеулер ақиқат болса (мысалы, 3 = 3), сіздің жауабыңыз дұрыс.
  • Жою әдісінде айнымалыдан бас тарту үшін кейде бір теңдеуді теріс санға көбейтуге тура келеді.

Ескертулер

Егер х сияқты экспонентке көтерілген айнымалы болса, бұл әдістерді қолдану мүмкін емес2. Осы түрдегі теңдеулер туралы қосымша ақпарат алу үшін екі айнымалысы бар факторинг квадратикасы бойынша нұсқаулықты іздеңіз.

Ұсынылған: